Türevlerinden her zaman daha az işlevler

Mike Brown 09/02/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

$$ f '(x)> f (x) $$ için tüm $ x $ için hangi fonksiyonların olup olmadığını merak ettim. Düşünebildiğim yalnızca örnekler $ e ^ x - c $ ve sadece $ - c $ idi, bunlarda $ c> 0 $ idi. Ayrıca, bir fonksiyonda daima türevinden daha az herhangi bir önem var mıdır?


Düzenleme: Tüm cevaplar için çok teşekkür ederiz. Uygulanan hemen hemen tüm işlevler üstel niteliktedir gibi görünüyor ... - 1 / x gibi daha fazla örnek var mı?

Yine bu işlevlerin herhangi bir uygulaması / fiziksel belirtileri var mı? [örneğin hızından her zaman konumundan / ivmesinden daha büyük olan bir nesne her zaman hızından daha büyük]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Kafamın üstünde, alt yarım-düzlemde sınırlı, monoton olarak artan herhangi bir işlev.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixion'un cevabı, tam, en genel çözümü sağlar (bazı belirli çözüm aileleri daha hoş formlarda yazılabilir) ve kabul edilmelidir.
Hamsteriffic 07/30/2017
1! Ancak lütfen "başlığını" değiştirerek başlığını düzeltin. Ünvanın yazıldığı yol, bir an için tüm emirlerin türevlerini düşünüyor gibiydiniz. Ve şimdi bu yan soruyu merak ediyorum, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

\ Mathbb {R} $ içindeki $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \' e bakarsak, tümü için pozitif olan $ f (x) = y '(x) -y (x) $' yi tanımlayabiliriz $ x $. $ Y '(x) $' un sürekli fonksiyon olduğunu ve böylece $ f (x) $ 'un da sürekli olduğunu varsayalım. Şimdi bu öğeyle diferansiyel denklemi oluşturabiliriz: $$ y (x) = y (x) + f (x) $$ ve çözümleri şu şekilde verilir: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (ler) ds \ sağ) $$

Yine bu işlevlerin herhangi bir uygulaması / fiziksel belirtileri var mı? [örneğin hızından her zaman konumundan / ivmesinden daha büyük olan bir nesne her zaman hızından daha büyük]

Bu ilginç mülkün uygulanıp uygulanmadığını bilmiyorum, fakat hızı, pozisyonla karşılaştıramayacağınızdan eminiz, çünkü homojen olmayan miktarlardır.


Aidan Connelly 07/29/2017.

$ F (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $ olarak varsayılarak

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Dolayısıyla, $ g '(x)> 1 $ işlevini, üstel değerini alarak, herhangi bir işleve $ g $ dönüştürebilirsiniz:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ ima eder \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ ima eder \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Başta $ f (x)> 0 $ varsayıyoruz
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Ardından herhangi bir $ f $ için başlangıç ​​noktası olarak $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ değerini kullanabilirdi. Bu şekilde her zaman $ \ hat {f} (x)> 0 $ olur.
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion'un cevabı, $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ 'un her yerde pozitif olan herhangi bir işlev olmasını sağlayarak tam genellemeyi sağlar.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Hayır, o $ f '(x) $' ın devamlılığını varsayar.
Robin Saunders 07/29/2017
Eminim bu duruma aslında ihtiyaç duyulmamaktadır.

Peter 07/28/2017.

Basit bir örnek: $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Daha ilginç bir problem, görüntüsü $ \ mathbb {R} $ olan ve $ f '(x)> f (x) $' i karşılayan bir fonksiyon $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $ bulmaktır. tüm $ x \ in \ mathbb {R} $ için. Bu işlevlerden biri

$$ \ SİNH (x) $$

Çünkü

$ x \ in \ mathbb {R} $ için $$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x) \ sinh (x) $$.


M. Winter 07/28/2017.

$ F (x) = e ^ {\ alpha x} $ al. Sonra $ \ alpha> 1 $ için $ f '(x)> f (x) $ ve $ \ alpha <1 $ için $ f' (x) <f (x) $ sahibiz.


steven gregory 07/28/2017.

Peki, ona diferansiyel denklem olarak bakarsanız. Söylemek

$ y '= y + 1 $

çözümü olan $ y = Ce ^ x -1 $

Ya da $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

$ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $ çözümüne sahip

Ya da $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

çözümü vardır $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion'un cevabı, $ f (x)> 0 $ için bunu $ y '(x) = y (x) + f (x) $ olarak genelleştirir.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - cevabımı silmeliyim mi?
Robin Saunders 07/30/2017
Yığın Değiştirme alışkanlığı hakkında pek fazla şey bilmiyorum, ancak sanırım cevabını ilk önce gönderdin ve diğer cevapta değil de belirli örnekleri içerdiğinden beri tahminim olacaktı; bunu bırakmak iyi olmalı.

Eric Towers 07/30/2017.

very basit bir örnek $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $' dır. Düzenlemenizle alâkalı: bu hiç üssel değil.

Hemen üstel olmayan diğer örnekler:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ her yerde olumsuzdur ve her yerde monoton olarak artmaktadır, dolayısıyla her yerde türevinden daha azı vardır.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ da her yerde negatif ve her yerde kesinlikle monoton olarak artmaktadır. (Bunlar (standart / normalize edilmiş) Cauchy ve Gauss dağılımlarının CDF'lerinin kopyaları kaydırıldığından, bunlar çok benzerdir.)
  • $, $ x $ ekseni ve $ y = x $ as sütuna sahip olan bir hiperbolanın alt dalıdır. $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) asimptotlar. Her yerde negatif ve her yerde kesinlikle monoton olarak artmaktadır.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Bakın, \ [0, \ infty] $ 'da $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Daha genel anlamda, pozitif türevi olan herhangi bir negatif fonksiyon ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Başka basit bir örnek $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $ olurdu


Adayah 07/29/2017.

Eşitsizlik $$ f '(x)> f (x) $$, $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]' 'e eşdeğerdir. $$

Dolayısıyla, genel çözüm, $ g '(x)> 0 $ ile türevlenebilir bir fonksiyonu $ g (x) $ almak ve $ f (x) = g (x) e ^ x $ koymaktır.

İlk etapta sormak için gerekli olan ayırt edilebilirlik dışında, $ f $ civarında hiçbir şeyin üstlenilmediğine dikkat edin.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Hem $ f (x) $ hem de $ f '(x) $' ın sonlu aralıklarla sınırlı olduğu herhangi bir diferansiyel fonksiyon için, $ f '(x) - f (x) $ da sınırlı bir aralıkla sınırlıdır, bu nedenle $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $ için bir $ c $ vardır. Bu nedenle $ g '(x) - g (x) - c> - c \ \ forall \ x $ veya $ g' (x (x) - c $) )> g (x) \ \ forall \ x $.

Örneğin, bu pek çok farklı periyodik fonksiyonlar için geçerlidir.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Son deyim yanlış, zira her türevlenebilir periyodik fonksiyon türevi sınırlamış değildir.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Haklısın. $ \ Mathbb {R} $ 'da her noktada diferensiyellenebilir periyodik işlevler düşünüyordum, ancak bir işlevin yalnızca kendi alanındaki tüm noktalarda türevlenebilir olarak düşünülebilecek şekilde farkedilebilmesi gerektiğini biliyorum. Cevabımı güncelledim.
Adayah 07/30/2017
Yani, $ f: \ mathbb {R} \ ~ \ mathbb {R} $ fonksiyonu her noktada $ a \ in \ mathbb {R} $ için periyodik ve türevlenebilir ve hala sınırsız türev içerir.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Böyle bir işleve ilişkin herhangi bir örneğiniz var mı?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Yani eğer bir fonksiyon $ f $ her yerde türevlenebilirse türevi $ f '$ her yerde bulunmalı ve $ f' $ sürekli olmalı (çünkü herhangi bir süreksizlik içeriyorsa $ f '$ bu noktada mevcut olamaz) ). $ F '$' un sınırsız olmasını imkansız kılıyor, değil mi?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike, ek sorularınıza "Bunun fiziksel örnekleri var mı?" dromastyx tarafından etkinleştirilir.

Onun örneği, 'solitonlar''ın fiziksel olgusunu doğru olarak tanımlayan hiperbolik işlevleri gösterir.

Solitonlar güneş şimşekleri, Tsunamiler gibi tek dalgalardır. Bilinen denklemlerde gizlenmiş böyle dalgaları bulmaya bir örnek şudur:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags