Bir İntegralin Sınırı Bulma: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 08/29/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

$ F: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ değerlerinin kesintisiz olduğunu varsayalım. Aşağıdaki sınırın mevcut olup olmadığını belirleyin

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

$ F (x) $ ve $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ değerleri sürekli olduğu için çarpım Riemann integre edilebilir. Bununla birlikte, $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ mevcut değildir, bu yüzden tek biçimli bir yakınsaklık değildir ve sınırı integralin içinde geçiremeyiz. Ayrıca Dini Teoremi koşullarında da tatmin olmaz. Bu sorun için geçerli bir argüman nasıl yapılacağını bilmiyorum, ancak sınırın mevcut olmadığını söylediğimde düşünüyorum. Herhangi bir yardım için minnettarım.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . $ \ Sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $ olduğunu unutmayın.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Teşekkürler, sanırım, şimdi tamamlayabilirim
Teepeemm 07/31/2017
Bu sorunun çağrılmasından daha gelişmiş gibi görünüyor.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Bunu çözmenin biraz farklı bir yolu aşağıdaki gözlemi kullanmaktır.

Proposition. Eğer $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ kesintisiz ise $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ sürekli ve $ L $ - periyodik, o zaman

$ \ Lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} Dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Bu ifadeyi varsayarsak, cevap $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ 'nin $ 2 \ pi $ -periodik olduğundan hemen geçer ve

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Sezgi çok net: Eğer $ n $ çok büyükse, $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ altkümede [a, b] $ alt aralıkta

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { N}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Ayrıntıları görmezden gelirsek,

    $ \ Int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (X) \, dx \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g

    Ve limiti \ n \ to \ infty $ olarak alırsak, sağ taraf istenilen değere yakınsar. Ayrıntıları doldurmak oldukça rutindir.

  3. Süreklilik varsayımı basit bir kanıt için yalnızca bir teknik ayardır ve daha fazla çaba sarf ederek onları belirli derecelerde rahatlatabilirsiniz.


Michael Hartley 07/31/2017.

$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $ $ $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n) olduğu için sonuçlandıramazsınız ) $$ değil. Örneğin, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ mevcut değil, ancak $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ çünkü tüm $ n $ için integral sıfırdır.

Korkarım ki bu noktada benim yararlılığım bitiyor, ancak sınırın var olduğunu düşünüyorum: eğer başka bir şey yoksa, integrali uzunluk aralıklarında bir integral demetinin toplamı olarak ifade eden bazı epsilon delta argümanını bulabilmelisiniz $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Bu, sorunun üstesinden gelmek için çok kötü bir yol olabilir.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
2 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
3 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
4 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
8 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
9 Calum Scott

No Matter What flac

Calum Scott. 2018. Writer: Toby Gad;Calum Scott.
10 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
11 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
12 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
13 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
14 Cher Lloyd

None Of My Business flac

Cher Lloyd. 2018. Writer: ​iamBADDLUCK;Alexsej Vlasenko;Kate Morgan;Henrik Meinke;Jonas Kalisch;Jeremy Chacon.
15 Ashley Tisdale

Voices In My Head flac

Ashley Tisdale. 2018. Writer: John Feldmann;Ashley Tisdale.
16 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
17 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
18 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
19 Little Mix

Told You So flac

Little Mix. 2018. Writer: Eyelar;MNEK;Raye.
20 Frida Sundemo

Apologize flac

Frida Sundemo. 2018.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags