Bir İntegralin Sınırı Bulma: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 08/29/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

$ F: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ değerlerinin kesintisiz olduğunu varsayalım. Aşağıdaki sınırın mevcut olup olmadığını belirleyin

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

$ F (x) $ ve $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ değerleri sürekli olduğu için çarpım Riemann integre edilebilir. Bununla birlikte, $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ mevcut değildir, bu yüzden tek biçimli bir yakınsaklık değildir ve sınırı integralin içinde geçiremeyiz. Ayrıca Dini Teoremi koşullarında da tatmin olmaz. Bu sorun için geçerli bir argüman nasıl yapılacağını bilmiyorum, ancak sınırın mevcut olmadığını söylediğimde düşünüyorum. Herhangi bir yardım için minnettarım.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . $ \ Sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $ olduğunu unutmayın.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Teşekkürler, sanırım, şimdi tamamlayabilirim
Teepeemm 07/31/2017
Bu sorunun çağrılmasından daha gelişmiş gibi görünüyor.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Bunu çözmenin biraz farklı bir yolu aşağıdaki gözlemi kullanmaktır.

Proposition. Eğer $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ kesintisiz ise $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ sürekli ve $ L $ - periyodik, o zaman

$ \ Lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} Dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Bu ifadeyi varsayarsak, cevap $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ 'nin $ 2 \ pi $ -periodik olduğundan hemen geçer ve

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Sezgi çok net: Eğer $ n $ çok büyükse, $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ altkümede [a, b] $ alt aralıkta

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { N}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Ayrıntıları görmezden gelirsek,

    $ \ Int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (X) \, dx \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g

    Ve limiti \ n \ to \ infty $ olarak alırsak, sağ taraf istenilen değere yakınsar. Ayrıntıları doldurmak oldukça rutindir.

  3. Süreklilik varsayımı basit bir kanıt için yalnızca bir teknik ayardır ve daha fazla çaba sarf ederek onları belirli derecelerde rahatlatabilirsiniz.


Michael Hartley 07/31/2017.

$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $ $ $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n) olduğu için sonuçlandıramazsınız ) $$ değil. Örneğin, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ mevcut değil, ancak $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ çünkü tüm $ n $ için integral sıfırdır.

Korkarım ki bu noktada benim yararlılığım bitiyor, ancak sınırın var olduğunu düşünüyorum: eğer başka bir şey yoksa, integrali uzunluk aralıklarında bir integral demetinin toplamı olarak ifade eden bazı epsilon delta argümanını bulabilmelisiniz $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Bu, sorunun üstesinden gelmek için çok kötü bir yol olabilir.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags